[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

3.350 \(\int \frac {(a+a \sec (e+f x))^m}{(d \sec (e+f x))^{3/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=98 \[ \frac {2 \tan (e+f x) (\sec (e+f x)+1)^{-m-\frac {1}{2}} (a \sec (e+f x)+a)^m F_1\left (-\frac {3}{2};\frac {1}{2},\frac {1}{2}-m;-\frac {1}{2};\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right )}{3 f \sqrt {1-\sec (e+f x)} (d \sec (e+f x))^{3/2}} \]

[Out]

2/3*AppellF1(-3/2,1/2-m,1/2,-1/2,-sec(f*x+e),sec(f*x+e))*(1+sec(f*x+e))^(-1/2-m)*(a+a*sec(f*x+e))^m*tan(f*x+e)
/f/(d*sec(f*x+e))^(3/2)/(1-sec(f*x+e))^(1/2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.14, antiderivative size = 98, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 3, number of rules used = 3, integrand size = 25, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.120, Rules used = {3828, 3827, 133} \[ \frac {2 \tan (e+f x) (\sec (e+f x)+1)^{-m-\frac {1}{2}} (a \sec (e+f x)+a)^m F_1\left (-\frac {3}{2};\frac {1}{2},\frac {1}{2}-m;-\frac {1}{2};\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right )}{3 f \sqrt {1-\sec (e+f x)} (d \sec (e+f x))^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + a*Sec[e + f*x])^m/(d*Sec[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

(2*AppellF1[-3/2, 1/2, 1/2 - m, -1/2, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(1 + Sec[e + f*x])^(-1/2 - m)*(a + a*Sec[e
+ f*x])^m*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))

Rule 133

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^n*e^p*(b*x)^(m +
 1)*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, -((d*x)/c), -((f*x)/e)])/(b*(m + 1)), x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, m, n, p},
 x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[c, 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[e, 0])

Rule 3827

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[(a^2*
d*Cot[e + f*x])/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]]), Subst[Int[((d*x)^(n - 1)*(a + b*x)^(m -
 1/2))/Sqrt[a - b*x], x], x, Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !In
tegerQ[m] && GtQ[a, 0]

Rule 3828

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[(a^In
tPart[m]*(a + b*Csc[e + f*x])^FracPart[m])/(1 + (b*Csc[e + f*x])/a)^FracPart[m], Int[(1 + (b*Csc[e + f*x])/a)^
m*(d*Csc[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] &&  !GtQ
[a, 0]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {(a+a \sec (e+f x))^m}{(d \sec (e+f x))^{3/2}} \, dx &=\left ((1+\sec (e+f x))^{-m} (a+a \sec (e+f x))^m\right ) \int \frac {(1+\sec (e+f x))^m}{(d \sec (e+f x))^{3/2}} \, dx\\ &=-\frac {\left (d (1+\sec (e+f x))^{-\frac {1}{2}-m} (a+a \sec (e+f x))^m \tan (e+f x)\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {(1+x)^{-\frac {1}{2}+m}}{\sqrt {1-x} (d x)^{5/2}} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt {1-\sec (e+f x)}}\\ &=\frac {2 F_1\left (-\frac {3}{2};\frac {1}{2},\frac {1}{2}-m;-\frac {1}{2};\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) (1+\sec (e+f x))^{-\frac {1}{2}-m} (a+a \sec (e+f x))^m \tan (e+f x)}{3 f \sqrt {1-\sec (e+f x)} (d \sec (e+f x))^{3/2}}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 19.42, size = 3349, normalized size = 34.17 \[ \text {Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(a + a*Sec[e + f*x])^m/(d*Sec[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

(2^(1 + m)*Sec[e + f*x]^(3/2)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(1/2 + m)*(a*(1 + Sec[e + f*x]))^m*((Cos[2*(e
+ f*x)]^3*Sqrt[Sec[e + f*x]]*(1 + Sec[e + f*x])^m)/4 + Cos[2*(e + f*x)]^2*Sqrt[Sec[e + f*x]]*((1 + Sec[e + f*x
])^m/2 + (I/4)*(1 + Sec[e + f*x])^m*Sin[2*(e + f*x)]) + Cos[2*(e + f*x)]*Sqrt[Sec[e + f*x]]*((1 + Sec[e + f*x]
)^m/4 + ((1 + Sec[e + f*x])^m*Sin[2*(e + f*x)]^2)/4) + Sqrt[Sec[e + f*x]]*((-1/4*I)*(1 + Sec[e + f*x])^m*Sin[2
*(e + f*x)] + ((1 + Sec[e + f*x])^m*Sin[2*(e + f*x)]^2)/2 + (I/4)*(1 + Sec[e + f*x])^m*Sin[2*(e + f*x)]^3))*Ta
n[(e + f*x)/2]*(-(AppellF1[3/2, -1/2 + m, 5/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Cos[e + f*x]*Sec
[(e + f*x)/2]^2)^(1/2 + m)*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (9*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 5/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan
[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x])/((Sec[(e + f*x)/2]^2)^(3/2)*(-3*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 5/2, 3/2, Tan[(e + f*x)
/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (5*AppellF1[3/2, -1/2 + m, 7/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] +
(1 - 2*m)*AppellF1[3/2, 1/2 + m, 5/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2))))/(3
*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(1 + Sec[e + f*x])^m*((2^m*Sec[(e + f*x)/2]^2*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(1/2
 + m)*(-(AppellF1[3/2, -1/2 + m, 5/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Cos[e + f*x]*Sec[(e + f*x
)/2]^2)^(1/2 + m)*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (9*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 5/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x
)/2]^2]*Cos[e + f*x])/((Sec[(e + f*x)/2]^2)^(3/2)*(-3*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 5/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -T
an[(e + f*x)/2]^2] + (5*AppellF1[3/2, -1/2 + m, 7/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 - 2*m)
*AppellF1[3/2, 1/2 + m, 5/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2))))/3 + (2^(1 +
 m)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(1/2 + m)*Tan[(e + f*x)/2]*(-(AppellF1[3/2, -1/2 + m, 5/2, 5/2, Tan[(e +
 f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*(Cos[e + f*x]*Sec[(e + f*x)/2]^2)^(1/2 + m)*Tan[(e + f*x)/
2]) - (Cos[e + f*x]*Sec[(e + f*x)/2]^2)^(1/2 + m)*Tan[(e + f*x)/2]^2*((-3*AppellF1[5/2, -1/2 + m, 7/2, 7/2, Ta
n[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/2 + (3*(-1/2 + m)*AppellF1[5/2, 1/
2 + m, 5/2, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5) - (1/2 + m)*
AppellF1[3/2, -1/2 + m, 5/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Cos[e + f*x]*Sec[(e + f*x)/2]^2)^(
-1/2 + m)*Tan[(e + f*x)/2]^2*(-(Sec[(e + f*x)/2]^2*Sin[e + f*x]) + Cos[e + f*x]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*
x)/2]) + (9*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 5/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sin[e + f*x])/((Sec[(e
+ f*x)/2]^2)^(3/2)*(-3*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 5/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (5*AppellF
1[3/2, -1/2 + m, 7/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 - 2*m)*AppellF1[3/2, 1/2 + m, 5/2, 5/
2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) + (27*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 5/2, 3/2, Tan[
(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*Tan[(e + f*x)/2])/(2*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(3/2)*(-3*AppellF1
[1/2, -1/2 + m, 5/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (5*AppellF1[3/2, -1/2 + m, 7/2, 5/2, Tan[
(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 - 2*m)*AppellF1[3/2, 1/2 + m, 5/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e
+ f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) - (9*Cos[e + f*x]*((-5*AppellF1[3/2, -1/2 + m, 7/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2
, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/6 + ((-1/2 + m)*AppellF1[3/2, 1/2 + m, 5/2, 5/2, T
an[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3))/((Sec[(e + f*x)/2]^2)^(3/2)*(
-3*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 5/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (5*AppellF1[3/2, -1/2 + m, 7/2
, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 - 2*m)*AppellF1[3/2, 1/2 + m, 5/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^
2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) + (9*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 5/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[
(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*((5*AppellF1[3/2, -1/2 + m, 7/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] +
(1 - 2*m)*AppellF1[3/2, 1/2 + m, 5/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e
 + f*x)/2] - 3*((-5*AppellF1[3/2, -1/2 + m, 7/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2
]^2*Tan[(e + f*x)/2])/6 + ((-1/2 + m)*AppellF1[3/2, 1/2 + m, 5/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2
]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3) + Tan[(e + f*x)/2]^2*(5*((-21*AppellF1[5/2, -1/2 + m, 9/2, 7/2, Tan[
(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/10 + (3*(-1/2 + m)*AppellF1[5/2, 1/2
 + m, 7/2, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5) + (1 - 2*m)*(
(-3*AppellF1[5/2, 1/2 + m, 7/2, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)
/2])/2 + (3*(1/2 + m)*AppellF1[5/2, 3/2 + m, 5/2, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/
2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5))))/((Sec[(e + f*x)/2]^2)^(3/2)*(-3*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 5/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2
]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (5*AppellF1[3/2, -1/2 + m, 7/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1
 - 2*m)*AppellF1[3/2, 1/2 + m, 5/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)^2)))/3
+ (2^(1 + m)*(1/2 + m)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(-1/2 + m)*Tan[(e + f*x)/2]*(-(AppellF1[3/2, -1/2 + m
, 5/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Cos[e + f*x]*Sec[(e + f*x)/2]^2)^(1/2 + m)*Tan[(e + f*x)
/2]^2) - (9*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 5/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x])/((Sec[(e
+ f*x)/2]^2)^(3/2)*(-3*AppellF1[1/2, -1/2 + m, 5/2, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (5*AppellF
1[3/2, -1/2 + m, 7/2, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 - 2*m)*AppellF1[3/2, 1/2 + m, 5/2, 5/
2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)))*(-(Cos[(e + f*x)/2]*Sec[e + f*x]*Sin[(e + f
*x)/2]) + Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]))/3))

________________________________________________________________________________________

fricas [F]  time = 0.54, size = 0, normalized size = 0.00 \[ {\rm integral}\left (\frac {\sqrt {d \sec \left (f x + e\right )} {\left (a \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m}}{d^{2} \sec \left (f x + e\right )^{2}}, x\right ) \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sec(f*x+e))^m/(d*sec(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(sqrt(d*sec(f*x + e))*(a*sec(f*x + e) + a)^m/(d^2*sec(f*x + e)^2), x)

________________________________________________________________________________________

giac [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {{\left (a \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m}}{\left (d \sec \left (f x + e\right )\right )^{\frac {3}{2}}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sec(f*x+e))^m/(d*sec(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((a*sec(f*x + e) + a)^m/(d*sec(f*x + e))^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

maple [F]  time = 1.11, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {\left (a +a \sec \left (f x +e \right )\right )^{m}}{\left (d \sec \left (f x +e \right )\right )^{\frac {3}{2}}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+a*sec(f*x+e))^m/(d*sec(f*x+e))^(3/2),x)

[Out]

int((a+a*sec(f*x+e))^m/(d*sec(f*x+e))^(3/2),x)

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {{\left (a \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m}}{\left (d \sec \left (f x + e\right )\right )^{\frac {3}{2}}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sec(f*x+e))^m/(d*sec(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((a*sec(f*x + e) + a)^m/(d*sec(f*x + e))^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \[ \int \frac {{\left (a+\frac {a}{\cos \left (e+f\,x\right )}\right )}^m}{{\left (\frac {d}{\cos \left (e+f\,x\right )}\right )}^{3/2}} \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a + a/cos(e + f*x))^m/(d/cos(e + f*x))^(3/2),x)

[Out]

int((a + a/cos(e + f*x))^m/(d/cos(e + f*x))^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {\left (a \left (\sec {\left (e + f x \right )} + 1\right )\right )^{m}}{\left (d \sec {\left (e + f x \right )}\right )^{\frac {3}{2}}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sec(f*x+e))**m/(d*sec(f*x+e))**(3/2),x)

[Out]

Integral((a*(sec(e + f*x) + 1))**m/(d*sec(e + f*x))**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

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